Функция Капрекара

Возьмем число в котором не все цифры одинаковые.

Составим два новых: наибольшее возможное из цифр исходного числа и наименьшее возможное. Вычтем из большего меньшее.

Произведенные действия называют функцией Капрекара, названной в честь индийского математика открывшего интересное свойство числа 6174.

Применив функцию Капрекара к числу 6174 мы вновь получим число 6174. Более того, если исходное число четырехзначное, то через конечное число шагов мы придем к числу 6174.

Чтобы в Excel применить функцию Капрекара составим в ячейке B1 такую формулу (в ячейке A1 у нас исходное число):

=СУММПРОИЗВ(НАИБОЛЬШИЙ(ПСТР(A1;СТРОКА(ДВССЫЛ("1:" & ДЛСТР(A1)));1)*1;СТРОКА(ДВССЫЛ("1:" & ДЛСТР(A1))))-НАИМЕНЬШИЙ(ПСТР(A1;СТРОКА(ДВССЫЛ("1:" & ДЛСТР(A1)));1)*1;СТРОКА(ДВССЫЛ("1:" & ДЛСТР(A1))));10^(ДЛСТР(A1)-СТРОКА(ДВССЫЛ("1:" & ДЛСТР(A1) ))))

Формула содержит массивы, поэтому после окончания ввода нужно нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

Чтобы получить следующий шаг можно просто скопировать полученную формулу в следующую ячейку и т.д.   

Число уникальных и повторяющихся значений

Пусть в диапазоне A1:A20 находятся какие-либо значения, не обязательно числовые.

Тогда следующая формула даст количество ячеек, встречающихся ровно один раз, т.е. уникальных:
=СУММ(ЕСЛИ(СЧЁТЕСЛИ(A1:A20;A1:A20)=1;1;0))

Количество повторяющихся ячеек, т.е. встречающихся более одного раза, можно посчитать так:
=СУММ(ЕСЛИ(СЧЁТЕСЛИ(A1:A20;A1:A20)>1;1;0))

А чтобы определить сколько различных повторяющихся:
=СУММ(ЕСЛИ(СЧЁТЕСЛИ(A1:A20;A1:A20)>1;1/СЧЁТЕСЛИ(A1:A20;A1:A20);0))

Ну и чтобы определить сколько вообще в диапазоне различных значений:
=СУММ(1/СЧЁТЕСЛИ(A1:A20;A1:A20))

 Все приведенные формулы используют массивы, поэтому после окончания ввода нужно нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

Пустых ячеек в диапазоне быть не должно. Иначе формула выдаст ошибку.

Чтобы определить наиболее часто встречающееся значение используем функцию МОДА().

Сиракузская последовательность

Возьмем любое натуральное число.

1. Если оно четное, разделим его на 2, если нечетное - умножим на 3 и прибавим 1.
2. С полученным числом проделаем пункт 1.

Есть гипотеза, утверждающая, что через конечное число шагов мы придем к последовательности 1 - 4 - 2 - 1 ...

Немного сократим количество шагов, используя массивы в Excel.

Пусть в ячейке A1 исходное нечетное число. В ячейку A2 запишем такую формулу:

=НАИМЕНЬШИЙ(ЕСЛИ(ОСТАТ((A1*3+1);2^СТРОКА(ДВССЫЛ("1:16")));3*A1+1;(A1*3+1)/2^СТРОКА(ДВССЫЛ("1:16")));1)
Это формула содержит массивы, поэтому после окончания ввода нужно нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

Указанная формула избавляет число 3*A1+1 от максимальной степени двойки.

Например, если в ячейке A1 число 53, то 3*53+1 = 160 = 2⁵ * 5, то после применения формулы в ячейке A2 получим число 5.

Теперь можно скопировать формулу до строки 20, например, и изменяя первоначальное число в ячейке A1, увидеть что в итоге приходим к числу 1.

Скатерть Улама

Скатерть Улама представляет из себя спираль чисел натурального ряда, на которой отмечены клетки, соответствующие простым числам.

Попробуем составить скатерь Улама в Excel. При этом воспользуемся VBA.

Располагая числа по спирали

обозначим перемещения таким образом:

• П - вправо
• В - вверх
• Л - влево
• Н - вниз